【平成１１年春期の問題より】 問２ 負数を２の補数で表すとき，８ビットで表現できる整数の範囲は １０進数でどれか。 ア ０〜２５５ イ −１２７〜１２７ ウ −１２７〜１２８ エ −１２８〜１２７ ---------------------------------------------------------------------- 【正解】エ ---------------------------------------------------------------------- 【解法】 ２の補数に関する基本的な問題である。 結論から言うと、（べき乗を＾で表すと）２の補数を使ってｎビットで 表現できる整数の範囲は、 −２＾（ｎ−１） 〜 ２＾（ｎ−１）−１ となる。ｎ＝８を代入すると、 −２＾（ｎ−１） ＝−２＾（８−１） ＝−２＾７ ＝−１２８ ２＾（ｎ−１）−１＝２＾（８−１）−１ ＝２＾７−１ ＝１２８−１ ＝１２７ よって、 −１２８〜１２７ となるので、正解はエである。 さて、原理を説明する。 ８ビットで表現できる数は「負数を考慮しなければ」次のようになる。 ビット列 １０進数 ００００００００ → ０ ０００００００１ → １ ００００００１０ → ２ ： ０１１１１１１０ → １２６ ０１１１１１１１ → １２７ １０００００００ → １２８ １００００００１ → １２９ ： １１１１１１１０ → ２５４ １１１１１１１１ → ２５５ という具合で、０〜２５５が表現できる。 ここで、負数を表現するために「２の補数」の考え方を導入する。まず、 １０進数で１の「２の補数」を求める。２の補数の求め方は、 「０と１を反転して１を加える」 というものである。 １．１０進数 １ ２．２進数で表現 ０００００００１ ３．０と１を反転 １１１１１１１０ ４．１を加える １１１１１１１１ → このビット列を「−１」とみなす １．１０進数 ２ ２．２進数で表現 ００００００１０ ３．０と１を反転 １１１１１１０１ ４．１を加える １１１１１１１０ （繰上りに注意） → このビット列を「−２」とみなす この考え方で順次計算していくと次のようになる。 ビット列 １０進数 ００００００００ → ０ ０００００００１ → １ ００００００１０ → ２ ： ０１１１１１１０ → １２６ ０１１１１１１１ → １２７ １０００００００ → ？ １００００００１ → −１２７ ： １１１１１１１０ → −２ １１１１１１１１ → −１ 厄介なのは「１０００００００」である。そのままだと正数１２８であるが、 「２の補数」を求めると次のようになる。 １．１０進数 １２８ ２．２進数で表現 １０００００００ ３．０と１を反転 ０１１１１１１１ ４．１を加える １０００００００ （繰上りに注意） → このビット列を「−１２８」とみなす つまり、ビット列「１０００００００」は、正数１２８とも負数−１２８ ともみなすことができるのである。 これまた結論から言うと、「１０００００００」は負数−１２８とみなして いる。こうすると先頭ビットを符号フラグ（０なら正数、１なら負数）として 使うことができ、算術シフトの際にも統一した処理が可能であるといった メリットがあるためである。 以上より、ビット列と１０進数の対応は次のようになる。 ビット列 １０進数 ００００００００ → ０ ０００００００１ → １ ００００００１０ → ２ ： ０１１１１１１０ → １２６ ０１１１１１１１ → １２７ １０００００００ → −１２８ １００００００１ → −１２７ ： １１１１１１１０ → −２ １１１１１１１１ → −１ この考え方はビット数に関わりなく適用できる。 ---------------------------------------------------------------------- 【過去５回の中の類題 その１】 （平成１０年春期 問１１） １０進数の−１００を２の補数表現で８ビットのレジスタに記憶する。 これを右に３ビット算術シフトした結果を１０進数で表したものはどれか。 ア −３３ イ −１３ ウ −１２ エ １９ 【正解】イ 【解法】 平成７年秋期の問９と同一の問題であり、「２の補数」に関する典型的な 問題である。 問題文の通り進めて行く。 この問題を解くには「１０進数←→２進数変換」「２の補数表現」「算術シ フト」の３つのポイントをクリアする必要がある。 １）１０進数の１００を２進数で表す。 １００÷２＝５０ 余り０ ５０÷２＝２５ 余り０ ２５÷２＝１２ 余り１ １２÷２＝ ６ 余り０ ６÷２＝ ３ 余り０ ３÷２＝ １ 余り１ １÷２＝ ０ 余り１ となるので８ビットの２進表現で表すと ０１１００１００ ２）これを元に−１００を２の補数表現で表す。 ０１１００１００ １００１１０１１ ← ０と１を反転させる １００１１１００ ← ２進数の１を加える（繰り上がりに注意） ３）右に３ビット算術シフトする。 １００１１１００ →→→１００１１ 右に３桁シフトするので右の３桁が失われる １１１１００１１ 残った数の先頭が１なので左の３桁に１を補う ￣￣￣ ４）これを１０進数に変換する。 先頭ビットが１だから負数であることはわかる。 １１１１００１１ ００００１１００ ← ０と１を反転する ００００１１０１ ← ２進数の１を加える この数は１０進数に直すと８＋４＋１＝１３ ５）以上よりイの−１３が正解となる。 シフトについては、 http://www.horse-club.com/josho/98a2/98a2m05.html を参照されたい。 ---------------------------------------------------------------------- 【過去５回の中の類題 その２】 （平成９年秋期 問３１） 多くのコンピュータが，演算回路を簡単にするために補数を用いている 理由はどれか。 ア 加算を減算で処理できるから。 イ 減算を加算で処理できるから。 ウ 乗算を加算の組合せで処理できるから。 エ 除算を減算の組合せで処理できるから。 【正解】イ 【解法】 減算の仕組みを簡単に説明しておく。例えば５−１を計算する場合には、 ２進法の０００００１０１から０００００００１を引くという方法はとらない。 むしろ、５に（−１）を加えるという方法をとる。 １０進数１の「２の補数」は１１１１１１１１であるから、５−１の代わりに ５＋（−１）＝５＋（１の「２の補数」）という計算を行う。 ０００００１０１ ＋ １１１１１１１１ ──────────── １０００００１００ ￣ ↓ 桁あふれは捨てる → ０００００１００（＝１０進数の４） 「桁あふれは捨てる」という考え方が馴染みにくいかとは思う。 このやり方により演算回路は加算だけあればよいことになる。つまり、減算 のかわりにその数の２の補数を加算しているのである。 補数の考え方を取り入れる理由は、このように「減算を加算で処理できる から。」である。よって、正解はイとなる。 ---------------------------------------------------------------------- 【傾向と対策】 ビット処理に関する出題状況は問１に示した。 その中で「２の補数」にかかわる部分だけを再掲する。 平成１１年春期 問 ２ ２の補数 表現できる範囲 ＜本問＞ 平成１０年秋期 出題なし 平成１０年春期 問１１ ２の補数 ＜類題＞ 平成 ９年秋期 問 ７ ２の補数 固定小数点表示法 問１２ ２の補数 問３１ ２の補数 補数を使う理由 ＜類題＞ 平成 ９年春期 問１４ ２の補数 平成 ８年秋期 出題なし 平均すると１回に１問は出題されており、おさえておかねばならない出題 領域のひとつである。 「２の補数」に関しては、なかなかその理屈を理解するのが難しい。むしろ 割り切って問題の解法に徹した方が良い。（そういう領域は二種では実は 少ない。通常は原理的な理解をする方が記憶に定着し応用力がつき、試験 対策としては勝っている。） 二種の問題ならば「反転して１を加える」という手順さえ覚えておけば なんとかなるものである。 ---------------------------------------------------------------------- 【コラム】 「試験が終わって・・・」 春期の試験を受けた後、合格発表までの間はあまり試験の勉強はしたくない というのが本音であろう。このマガジンも１ヶ月弱の休みを入れている。 そうは言っても、そろそろリスタートの時期である。二種の試験は、受験 回数が多くなるにしたがって合格率が下がる傾向がある。惰性に流れる傾向が 強く、弱点を克服しないままに次の試験を受けて落ちるということの繰り返し になりがちなためである。 本来積上げ型の試験であるだけにトータルの勉強時間が多いほど有利なの だが、そうはなっていない。 改めて正解のチェックを行い弱点把握に努めることをすすめる。 |