【平成１１年春期の問題より】

問８　ゼロでない整数の１０進表示のけた数Ｄと２進表示のけた数Ｂとの
関係を示した式はどれか。 

ア　Ｄ≒Ｂｌｏｇ２（１０）　イ　Ｄ≒Ｂｌｏｇ２（Ｂ）
ウ　Ｄ≒Ｂｌｏｇ１０（２）　エ　Ｄ≒Ｂｌｏｇ１０（Ｂ）

（回答作成者注：２を底とする対数をｌｏｇ２（ｘ），１０を底とする対数を
　　　　　　　　ｌｏｇ１０（ｘ）とする。）
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【正解】ウ
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【解法】
　対数に関する知識がないと解答は難しいか？
　べき乗を＾で表すと、

　　　　　　１＝１０＾０　→　ｌｏｇ１０（　　　　１）＝０
　　　　　１０＝１０＾１　→　ｌｏｇ１０（　　　１０）＝１
　　　　１００＝１０＾２　→　ｌｏｇ１０（　　１００）＝２
　　　１０００＝１０＾３　→　ｌｏｇ１０（　１０００）＝３
　　１００００＝１０＾４　→　ｌｏｇ１０（１００００）＝４

　という関係になるので、対象であるゼロでない整数をＮとすると、
　　　Ｄ≒ｌｏｇ１０（Ｎ）＋１
となる。同様にして、
　　　Ｂ≒ｌｏｇ２（Ｎ）＋１
となる。例えば１０進数の３２は２進数で表すと、１０００００であるが、
この値をＮとすると
　　　Ｂ＝ｌｏｇ２（Ｎ）＋１
　　　　＝ｌｏｇ２（３２）＋１
　　　　＝ｌｏｇ２（２＾５）＋１
　　　　＝５＋１
　　　　＝６
Ｂは６となる。

　さて、対数の底の変換公式を使うと次の関係が成り立つ。
　　ｌｏｇ２（Ｎ）＝ｌｏｇ１０（Ｎ）／ｌｏｇ１０（２）
この式を利用して計算を行う。

　　　　　　　　　Ｂ≒ｌｏｇ２（Ｎ）＋１
　　　　　　　　　Ｂ≒ｌｏｇ１０（Ｎ）／ｌｏｇ１０（２）＋１
　　　　　　　　　Ｂ≒（Ｄ−１）／ｌｏｇ１０（２）＋１
　Ｂｌｏｇ１０（２）≒（Ｄ−１）＋ｌｏｇ１０（２）
　　　　　　　　　Ｄ≒Ｂｌｏｇ１０（２）＋１−ｌｏｇ１０（２）
　　　　　　　　　Ｄ≒Ｂｌｏｇ１０（２）＋０．７

　よって選択肢ウを正解としているのであろう。
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【過去５回の中の類題】
（平成８年秋期　問７）
　８進法で５けたの自然数を２進法で表現するには，少なくとも何けた必要か。

ア　５　　イ　１０　　ウ　１５　　エ　２０　　オ　２５

【正解】ウ
【解法】
　Ｎ進数問題の中で多少変わり種なのだが、同時に典型的な出題がこのタイプ
の問題である。例題から入る方がわかりやすかろう。

　１０進数の６１＝８進数の７５＝２進数の１１１１０１

という関係が成り立つ。ここで注意してみてみる。

　　　２進数　１１１　１０１
　　　８進数　　　７　　　５

３桁づつ区切ると、ちょうど２進数と８進数がきれいに対応する。これは偶然
ではＮ進数表現同士で見られる性質なのである。２進数の場合は、４（＝２の
２乗）進数，８（＝２の３乗）進数，１６（＝２の４乗）進数，３２（＝２の
５乗）進数などがこれにあたる。要するに２のｎ乗になっていれば、２進数
との対応付けができるのである。
　例えば、上記の例で言うと

　１０進数の６１＝１６進数の３Ｄ＝２進数の１１１１０１

　　２進数　００１１　１１０１
　１６進数　　　　３　　　　Ｄ

という風に２進数を下から４桁づつ区切って１６進数に直すと、始めから
１６進表示していたものと同じになる。
　注意して欲しいのは、例えば８進数と１６進数ではダメである。８のｎ乗が
１６にはならないからである。

　類題に戻る。＾でべき乗を表すと、８＝２＾３であるから８進数で表された
数値１桁を２進数で表すには３桁必要である。したがって、５×３＝１５より
１５桁必要だからウが正解となる。

　余談ながら問題文に難がある。「少なくとも」という表現を使うと本当の
意味の正解は１３桁である。８進数で５桁の自然数１２３４５を２進数で表すと

　８進数　　　１　　　２　　　３　　　４　　　５
　２進数　００１　０１０　０１１　１００　１０１

となる。頭のゼロ二つは普通桁数には含めないので１３桁が正解となる。
　「何桁あれば十分か」という表現にすべきであったろう。
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【傾向と対策】
　数学・論理関連問題全般の出題状況及びＮ進数の問題の出題状況は問４で
示した通りである。
　Ｎ進数問題の出題状況を再掲する。

平成１１年春期　問４　１６進数　　　　　小数表現
　　　　　　　　問８　２進数　　　　　　桁数　　　　＜本問＞
　　　　　　　　問９　２進数　　　　　　小数表現
平成１０年秋期　問６　２進数　　　　　　小数表現
平成１０年春期　問７　４進数　　　　　　１０進→４進変換
　　　　　　　　問８　５進数・３進数
平成　９年秋期　出題なし
平成　９年春期　出題なし
平成　８年秋期　問４　２進数・１６進数　加算，１０進変換
　　　　　　　　問５　２進数・１０進数　小数表現
　　　　　　　　問７　２進数・８進数　　桁数　　　＜類題＞
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【コラム】　「Ｎ進数」

　実務上必要なのは、２進法，８進法と１６進法ぐらいなものであろう。
もちろんそれらの出題が多いのが事実ではあるが、その他のＮ進数問題も出題
される。これは応用問題としてとらえるべきである。原理的な理解抜きで機械
的な解き方だけ覚えていると、こうした問題に対応し切れなくなる。
　考え方のベースは実は日常的に使用している１０進数である。１０進数の
考え方を展開していく形で接するのがＮ進数問題を把握する上で最も好ましい
やり方である。