【平成１１年春期の問題より】

問９　小数の表現に関する記述のうち、正しいものはどれか。 

ア　２進数でけた数が有限な小数を１０進数に変換すると，有限けたで
　　表現できない。
イ　２進数でけた数が有限な小数を１０進数に変換すると，有限けたで
　　表現できるとは限らない。
ウ　１０進数でけた数が有限な小数を２進数に変換すると，有限けたで
　　表現できない。
エ　１０進数でけた数が有限な小数を２進数に変換すると，有限けたで
　　表現できるとは限らない。
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【正解】エ
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【解法】
　平成８年秋期の問５で同一の問題が出題されている。
　二種のＮ進数問題としては難問の部類に属する。（ちなみに平成１０年の
一種試験の午前問２に同種の問題が出題されている。）Ｎ進数の原理的な
点を突いており、決して悪問愚問の類ではないが、二種の午前問題に出題する
ことには疑問が残る。

　まずＮ進数の小数表現についておさらいをしておく。
日頃使い慣れている１０進数とのアナロジーでとらえておくのがよかろう。

０．１２３４
　　↑↑↑↑
　　ＡＢＣＤ

　いうまでもなくＡの桁は小数点第一位と呼ばれ、０．１あるいは１／１０の
位となる。Ｂは０．０１あるいは１／１００の位である。
　つまり、べき乗を＾で表すと、

　Ａ　１／１０　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１／（１０＾１）
　Ｂ　１／１００　　＝１／（１０×１０）　　　　　　＝１／（１０＾２）
　Ｃ　１／１０００　＝１／（１０×１０×１０）　　　＝１／（１０＾３）
　Ｄ　１／１００００＝１／（１０×１０×１０×１０）＝１／（１０＾４）

となる。Ｃならば小数点第三位であると同時に１／（１０＾３）の位である。
この考え方がＮ進数全てに共通している。
　たとえば２進数ならば、

０．１１１１
　　↑↑↑↑
　　ＡＢＣＤ

　Ａ　１／（２＾１）＝１／２
　Ｂ　１／（２＾２）＝１／４
　Ｃ　１／（２＾３）＝１／８
　Ｄ　１／（２＾４）＝１／１６

よって上記の２進数は、１０進数で表すと、

　１／２＋１／４＋１／８＋１／１６
＝０．５＋０．２５＋０．１２５＋０．０６２５
＝０．９３７５

となる。

　さて、１０進数の場合には、「けた数が有限な小数」は、右辺に注意
すればわかるように、
　　　１／４　＝０．２５＝２５／１００
　　　１／１０＝０．１　＝　１／１０
分母が１０のべき乗（１０，１００，１０００，・・・）で表されるような
分数になっている。
　この考え方はＮ進数でも適用できる。つまり、Ｎのべき乗で表される分母を
持った分数で表される数がＮ進数のけた数が有限な小数（有限小数）となる。
　２進数で例を示そう。

　２進数　　　１０進数　　分数表現
　￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　
　０．００１　０．１２５　１／８＝１／（２＾３）
　０．０１　　０．２５　　１／４＝１／（２＾２）
　０．０１１　０．３７５　３／８＝３／（２＾３）
　０．１　　　０．５　　　１／２＝１／（２＾１）
　０．１０１　０．６２５　５／８＝１／（２＾３）
　０．１１　　０．７５　　３／４＝３／（２＾２）
　０．１１１　０．８７５　７／８＝７／（２＾３）

　２進数でけた数が有限な小数を１０進数に変換する場合を考えよう。
２進数のけた数が有限な小数（有限小数）は必ず、

　ｎ／（２＾ｍ）

の形で表される。ということは、分母分子に（５＾ｍ）をかけることで、

　ｎ／（２＾ｍ）＝（ｎ×（５＾ｍ））／（（２＾ｍ）×（５＾ｍ））
　　　　　　　　＝（ｎ×（５＾ｍ））／（１０＾ｍ）

という関係が成り立つ。上記の例で言うと、２進数の０．００１は１０進数の
分数表現では、１／８＝１／（２＾３）となるので、分母分子に１２５
（＝５＾３）をかけて
　　　１／８＝１２５／（８×１２５）＝１２５／１０００
となる。
　　　　　　　　　　　　　　　分母分子に
　２進数　　　分数表現　　　　　かける数　結果
　￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣
　０．００１　１／（２＾３）　　１２５　　１２５／１０００
　０．０１　　１／（２＾２）　　　２５　　　２５／１００
　０．０１１　３／（２＾３）　　１２５　　３７５／１０００
　０．１　　　１／（２＾１）　　　　５　　　　５／１０
　０．１０１　１／（２＾３）　　１２５　　６２５／１０００
　０．１１　　３／（２＾２）　　　２５　　　７５／１００
　０．１１１　７／（２＾３）　　１２５　　８７５／１０００

という具合である。つまり「２進数でけた数が有限な小数を１０進数に変換」
すると，必ず有限けたで表現できる。したがって、選択肢アとイは誤りである。

　次に、１０進数でけた数が有限な小数を２進数に変換したときにどうなる
かを見てみる。原理は同じである。分母が１０のべき乗で表される分数が、
分母が２のべき乗で表される分数で表現できるかどうかである。できれば有限
けたで表現できる（有限小数）し、できなければ有限けたでは表現できない
（無限小数）。
　勘のいい人は気付いたかもしれない。簡単な２つの例で説明しよう。１／１０
と５／１０である。ともに１０進数では有限小数で表される。０．１と０．５で
ある。さて、これを分母が２のべき乗である分数にできるであろうか。

　１／１０＝１／（２×５）　分母の５が邪魔でできない　→　無限小数
　５／１０＝５／（２×５）＝１／２　分母が２のべき乗　→　有限小数

つまり分数を約分する過程で分母から５が無くなれば、２進数で有限小数に
なるのである。それ以外は無限小数になる。
したがって、正解は「エ　１０進数でけた数が有限な小数を２進数に変換する
と，有限けたで表現できるとは限らない。」となる。
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【過去５回の中の類題】
（平成１０年春期　問７）
問７　１０進数の１１１を８けたの４進数として表したものはどれか。

　ア　00001233　イ　00003321　ウ　00011010　エ　01101111

【正解】ア
【解法】
　１０進数を任意のＮ進数にするときの標準的なやり方をとる。これも中学で
やったはずである。

　１１１÷４＝２７　あまり　３
　　２７÷４＝　６　あまり　３
　　　６÷４＝　１　あまり　２
　　　１÷４＝　０　あまり　１

よって、１０進数の１１１は４進数の１２３３となるのでアが正解となる。

　なぜ、こうなるかという理屈を述べておく。「解ければいい」という
方は読まなくても問題ない。
この問題の場合は、まず１１１を４進数の「４」で割る。そうすると
答えが２７で余りが４ということになる。これを数式で表せば、
　１１１＝２７×４＋３
となる。さらに２７を４で割れば６あまり３となるので、
　２７＝６×４＋３
となる。この２つの式を組み合わせると、
　１１１＝（６×４＋３）×４＋３
となる。以下同様に繰り返すと、
　６＝１×４＋２
　１＝０×４＋１
となるため、
　１１１＝（（（０×４＋１）×４＋２）×４＋３）×４＋３
　　　　＝０×４＾４＋１×４＾３＋２×４＾２＋３×４＋３
　　　　　￣　　　　　￣　　　　　￣　　　　　￣　　　￣
下線をつけたところが４進数表現で各桁に表れてくる数字である。

　一方、　手間はかかるが、確実な解法として、逆にＮ進数の数から
１０進数を計算して、合っているものが正解というやり方もある。
　この問題の場合には、４進数なので、
　　　１番右の位　　　　×　　　　１
　＋　右から２番目の位　×　　　　４
　＋　右から３番目の位　×　　　１６（＝４の２乗）
　＋　右から４番目の位　×　　　６４（＝４の３乗）
　＋　右から５番目の位　×　　２５６（＝４の４乗）
　＋　右から６番目の位　×　１０２４（＝４の５乗）
　＋　右から７番目の位　×　４０９６（＝４の６乗）
　＋　右から８番目の位　×１６３８４（＝４の７乗）
で計算できる。

ア　00001233
　３×１＋３×４＋２×１６＋１×６４　　　　　　＝１１１
イ　00003321
　１×１＋２×４＋３×１６＋３×６４　　　　　　＝２４９
ウ　00011010
　０×１＋１×４＋０×１６＋１×６４＋１×２５６＝３０４
エ　01101111
　１×１＋１×４＋１×１６＋１×６４＋０×２５６＋
　１×１０２４＋１×４０９６　　　　　　　　　　＝５２０５

以上よりアが正解。
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【傾向と対策】
　数学・論理関連問題全般の出題状況及びＮ進数の問題の出題状況は問４で
示した通りである。
　Ｎ進数問題の出題状況を再掲する。

平成１１年春期　問４　１６進数　　　　　小数表現
　　　　　　　　問８　２進数　　　　　　桁数
　　　　　　　　問９　２進数　　　　　　小数表現　＜本問＞
平成１０年秋期　問６　２進数　　　　　　小数表現
平成１０年春期　問７　４進数　　　　　　１０進→４進変換　＜類題＞
　　　　　　　　問８　５進数・３進数
平成　９年秋期　出題なし
平成　９年春期　出題なし
平成　８年秋期　問４　２進数・１６進数　加算，１０進変換
　　　　　　　　問５　２進数・１０進数　小数表現　＜本問と類似＞
　　　　　　　　問７　２進数・８進数　　桁数

　整数値の１０進数←→Ｎ進数の変換は、類題で示したやり方を理解して
いれば十分である。出題数から言って、決して軽視できない領域なのだが、
変換の仕方さえ覚えておけば、後は応用力の問題である。出題側は目先を
変えてくるだけに、ポイントを見抜く必要がある。一見しただけでは、
難しく感じるが、解いてみるとたいして難しくないことが多いので、とにかく
よく考えてみることである。
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【カラム】　「同一／類似問題の出題」

　二種試験では、過去問と同一または類似問題の出題がなされることが結構ある。
過去問対策が重要になるわけである。
　特に本問のような知識問題の類であると、出題の幅が狭くならざるを得ず、
似たような問題が出題されることになる。
　問題のみならず、問題に対する考え方を理解しておかないと役には立たない。
解法の理解を最優先にすべきである。